Mario Romsy, Holger Blasum, Michael Helbig WS 2002/03

Kapitel IV. 1-2 Quadratische Formen

basierend auf: Jean Pierre Serre[4]

Vortrag zum Seminar ”Quadratische Formen über p-adischen Zahlen” an der LMU München

1 Quadratische Formen

Bemerkung 1. Bei Verweisen der Form (n) [p.q Def/Prop/Thm m] bezieht sich die Zahl n in runden Klammern auf die Numerierung in unserer Bearbeitung, der Gehalt der eckigen Klammern auf Abschnitt (p.q) und Numerierung (m) in [4].

1.1 Definitionen

Erinnerung 2. Eine Bilinearform ist eine Funktion F von V × V → A, so dass: F (x + x′, y) = F (x, y) + F (x′, y) F (x, y + y′) = F (x, y) + F (x, y′) F (αx, y) = αF (x, y) = F (x, αy) für alle x, x′, y, y′ ∈ V und α ∈ A.

Eine aus der linearen Algebra bekannte Bilinearform ist das Skalarprodukt (mit Tupeln oder Funktionen als Vektoren).

Definition 3 (Def 1). Sei V ein Modul über einem kommutativen Ring A. Eine Funktion Q: V → A heißt quadratische Form auf V, genau dann wenn ∀α ∈ A, ∀x, y ∈ V: (Q1) Q(αx) = α^{2}Q(x) (Q2) (x, y) ↦ Q(x + y) − Q(x) − Q(y) ist eine Bilinearform.

Ein Paar (V, Q) mit V Modul über einem kommutativen Ring und einer quadratischen Form Q auf V heißt quadratischer Modul.

Bemerkung 4. In diesem Kapitel beschränken wir uns auf den Fall A = K. Ein Körper mit Charakteristik (Elementzahl) ≠ 2, d.h. V ist dann ein K-Vektorraum. Des weiteren sei dim(V) = n < ∞.

Definition 5 (Polarisation).

· : (x, y) ↦ x · y := \frac{1}{2}(Q(x + y) − Q(x) − Q(y))

· (Also Q2 von der vorhergehenden Definition multipliziert mit \frac{1}{2}) ist eine symmetrische Bilinearform auf V und wird mit Q assoziiertes Skalarprodukt genannt, es muss im Gegensatz zum uns aus der linearen Algebra bereits bekannten Skalarprodukt nicht positiv definit sein.

Bemerkung 6. Damit ist die Beschränkung auf char(k) ≠ 2 motiviert, sonst ist im Falle 2 = 0 (mod k) der Wert \frac{1}{2} nicht definiert.

Es gilt: Q(x) = x · x, dies erzeugt eine Bijektion zwischen quadratischen Formen und symmetrischen Bilinearformen.

Definition 7. Seien (V, Q) und (V′, Q′) zwei quadratische Moduln. Eine lineare Abbildung f: V → V′, bestimmt durch die Anforderung Q = Q′ ∘ f, also

∀x ∈ V, x′ ∈ V′ : Q(x) = Q′(f(x′))

heißt Morphismus (oder: metrischer Morphismus) von (V, Q) nach (V′, Q′).

Bemerkung 8. Es gilt f(x) · f(y) = x · y ∀x, y ∈ V (für f metrischer Morphismus).

Überlegung 9. Sei (e_{i})_{1≤i≤n} eine Basis von V. Die Matrix von Q bzgl. dieser Basis ist die Matrix A = (a_{ij}) mit a_{ij} = e_{i} · e_{j}. A ist symmetrisch. x = ∑ x_{i}e_{i} sei ein Element von V, dann ist

Q(x) = ∑_{i,j} a_{ij}x_{i}x_{j} Q(x) = x · x

was zeigt, dass Q(x) eine ”quadratische Form” in x_{1}, …, x_{n} im üblichen Sinn ist.

Überlegung 10. Basiswechsel bewirkt: A′ = X ∗ A ∗ X^{t} wobei X ∈ GL_{n}(k), A′ die Matrix von Q bzgl. der neuen Basis ist.

Beweis. Seien (e_{i})_{1≤i≤n}, (e′_{i})_{1≤i≤n} Basen, α_{ij} = e_{i} · e_{j}. Die Transformation kann dann dargestellt werden als: e′_{i} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{kj}e_{j}, X = (ξ_{ij}), X^{t} = (ξ_{ji}) Dann gilt:

α′_{ij} = e′_{k} · e′_{l} = ∑_{j} ξ_{kj}e_{j} · ∑_{m} ξ_{lm}e_{m}

= ∑_{j,m} ξ_{kj} ∗ ξ_{lm} ∗ (e_{j} · e_{m}) = ∑_{j,m} ξ_{kj} ∗ ξ_{lm} ∗ α_{jm}

= ∑_{j,m} ξ_{kj} ∗ α_{jm} ∗ ξ_{ml}^{(=ξ_{lm})} = (XAX^{t})_{k,l}

Damit gilt dann auch A′ = XAX′.

Definition 11. Insbesondere det(A′) = det(A) ∗ det(X)^{2} (Determinantenmultiplikationssatz) was zeigt, dass det(A) festgelegt ist bis auf Multiplikation mit x ∈ k^{∗^{2}}. Ein Repräsentant der so (Invarianz unter Basiswechsel) induzierten Restklassenstruktur wird die Diskriminante von Q, disc(Q), genannt. Es ist also disc(Q) entweder 0 oder ein Element von k^{∗}/k^{∗^{2}}.

1.2 Orthogonalität

Definition 12. Sei (V, Q) ein quadratischer Modul über k. Zwei Elemente x, y aus V heißen orthogonal, wenn x · y = 0. Sei H ⊂ V: Dann ist

H^{⊥} := {v ∈ V | v · h = 0 ∀h ∈ H}

Unterraum in V. V_{1}, V_{2} ⊂ V Unterräume heißen orthogonal (V_{1} ⊥ V_{2}), wenn V_{1} ⊂ V_{2}^{⊥},äquivalent dazu: x ∈ V_{1}, y ∈ V_{2} ⇒ x·y = 0. Der Unterraum H^{⊥}, der zu dem Vektorraum H orthogonal ist, wird als orthogonales Komplement bezeichnet. Das orthogonale Komplement V^{⊥} von V (also dem trivialen Unterraum) heißt Radikal (Merkhilfe: Nullstellen(”radix”)erzeuger oder Kern) von V, rad(V).

rad(V) = V^{⊥} = {v ∈ V | ∀w ∈ V : v · w = 0}.

Seine Kodimension heißt Rang von Q, geschrieben rank(Q). rank(Q) = dim(V)−dim(V^{⊥}). Ist V^{⊥} = 0, ist Q nicht ausgeartet. (Erinnerung: σ n.a. ⇔ ∀x ≠ 0 : σ(x, v) ≠ 0 ≠ σ(v, x)).

Beweis. V^{⊥} = 0 ⇔ ∀0 ≠ v ∈ V ∃v′ ∈ V : v · v′ ≠ 0. v = ∑_{i} α_{i}e_{i}, v′ = ∑_{i} α′_{i}e_{i}. ∀(α_{1}, α_{n}) ∈ k^{n} ∃(α′_{1}, α′_{n}) ∈ k^{n} :

v · v′ = ∑_{i,j} α_{i}α′_{j}α_{ij} mit α_{ij} = e_{i} · e_{j}

= ∑_{i,j} α_{i}α_{ij}α′_{j}

= (α_{1}, …, α_{n})A (α′_{1} ; ⋮ ; α′_{n}) .

∀0 ≠ (α_{1}, …, α_{n}) ∈ k^{n} ∃(α′_{1}, …, α′_{n}):

(α_{1}, …, α_{n})A (α′_{1} ; ⋮ ; α′_{n}) ≠ 0 ⇒ (α_{1}, …, α_{n})A ≠ 0 ⇔ rank(A) = n.

Bemerkung 13. disc(Q) ≠ 0 (d.h. disc(Q) ∈ k^{∗}/k^{∗^{2}})) ⇔^{Determinantenmultiplikationssatz}

Q n.a.

Bemerkung 14. Sei U ⊂ V ein Unterraum, U^{∗} der Dualraum, q_{U}: V → U^{∗} die Funktion, die jedem x ∈ V die Linearform (y ∈ U ↦ x · y) zuordnet. Ker(q_{U}) = U^{⊥} (Def U^{⊥}!). Wir sehen: Q nicht ausgeartet ⇔ q_{V} : V → V^{∗} Isomorphismus. U ⊂ V Unterraum: rad(U) = {u ∈ U | ∀w ∈ U : u · w = 0}.

Definition 15 (Def 2). Seien U_{1}, …, U_{m} ⊂ V Unterräume: V ist direkte orthogonale Summe der U_{i}, wenn die U_{i} paarweise orthogonal sind und V direkte Summe der U_{i} ist. V = U_{1} ˆ⊕ … ˆ⊕U_{m}.

Bemerkung 16. Hat x ∈ V Komponenten x_{i} ∈ U_{i}, so ist

Q(x) = (∑_{i=1}^{m} x_{i}, ∑_{j=1}^{n} x_{j}) = ∑_{i,j=0}^{m}(x_{i}, x_{j}) = ∑_{i=1}^{n}(x_{i}, x_{i}) = Q_{1}(x_{1}) + … + Q_{m}(x_{m})

wobei Q_{i} = Q | U_{i} die Einschränkung von Q auf U_{i} bezeichnet.

Satz 17 (Prop 1). Ist U ein orthogonales Komplement zu rad(V) in V, so ist V = U ˆ⊕rad(V).

Beweis. Klar.

Satz 18 (Zerlegung von (V, Q), Prop 2). Sei (V, Q) nicht ausgeartet. ⇒

1. Alle metrischen Morphismen von V in einem quadratischen Modul (V′, Q′) sind injektiv.

2. ∀U ⊂ V Unterraum gilt:

(a) dim(U) + dim(U^{⊥}) = dim(V)

(b) U^{⊥⊥} = U

(c) rad(U) = rad(U^{⊥}) = U ∩ U^{⊥}

(d) Der quadratische Modul (U, Q | U) ist nicht ausgeartet ⇔ U^{⊥} ist nicht

ausgeartet. In diesem Fall ist V = U ˆ⊕U^{⊥}.

3. V = U ˆ⊕W ⇒ U, W nicht ausgeartet und U ⊥ W Beweis. 1. Sei f: V → V Morphismus,

f(x) = 0 ⇒ x · y = f(x) · f(y) = 0 ∀y ∈ V (einsetzen). ⇒ x = 0 da (V, Q) nicht ausgeartet. ⇒ Ke(f) = {0}

2. q_{U}: V → U^{∗} surjektiv wg. q_{V} : V → V^{∗} surjektiv (bijektiv), und s : V^{∗} → U^{∗} Einbettung und damit surjektiv.

0 →^{a} U^{⊥} →^{j} V →^{q_{U}} U^{∗} →^{b} 0

ist kurze exakte Folge, da 0 = Im(a) = Ke(j) = 0, da j injektiv. U^{⊥} = Im(j) = Ke(q_{U}) da (s.o. Ke(q_{U}) = U^{⊥}) Im(q_{U}) = Ke(b) = U^{∗} klar. ⇒

(a) Dimformel: dim(V) = dim(U^{0}) + dim(U^{∗}) =^{endl. dim.} dim(U^{⊥}) + dim(U)

(b) ∀ Unterräume ⇒ dim(V) = dim(U^{⊥}) + dim(U^{⊥⊥}) ⇒ dim(U) = dim(U^{⊥⊥}) mit U ⊂ U^{⊥⊥} ⇒ U = U^{⊥⊥}

(c) rad(U) = U ∩ U^{⊥} klar (Definition!) ⇒ rad(U^{⊥}) = U^{⊥} ∩ U^{⊥⊥} = U^{⊥} ∩ U = rad(U) ⇒

(d) U n.a. ⇔ rad(U) = 0 ⇔ rad(U^{⊥}) = 0 ⇔ U^{⊥} n.a.

3. V = U ˆ⊕W ⇒ U ⊥ W; ⇒^{V n.a.; 2(d)} rad(U) = 0 = rad(W) ⇒^{V n.a.} U, W n.a.

1.3 Isotrope Vektoren

Definition 19 (Def 3). (V, G) quadratische Moduln, x ∈ V isotrop ⇔ Q(x) = 0. U ⊂ V Unterraum heißt isotrop ⇔ ∀u ∈ U: U isotrop. Offensichtlich gilt: U isotrop ⇔ U ⊂ U^{0} ⇔ Q | U = 0.

Definition 20 (Def 4). Ein quadratischer Modul heißt hyperbolische Ebene, wenn der Modul eine Basis aus zwei isotropen Vektoren x und y mit x · y ≠ 0 besitzt.

Bemerkung 21. Multipliziert man y mit \frac{1}{x·y}, so kann man annehmen, dass x · y =

1 ist. Bezüglich x und y ist die Matrix der quadratischen Form dann (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) mit

mit disc (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = −1. Sie ist nicht ausgeartet.

Beispiel 22. Siehe Tabelle 1.

Vorbemerkung: Anschaulich sind quadratische Formen Polynome. Werden als Vektoren 2-Tupel verwendet, so sind quadratische Formen über dem Vektorraum der 2-Tupel Polynome, in denen nur Terme vom Grad 2 vorkommen, nicht aber Konstanten (ungleich 0) oder lineare Argumente (Homogenität). Über ℂ als Grundkörper sind dann z.B. alle quadratischen Formen der Art

a ∗ x^{2} + b ∗ x ∗ y + c ∗ y^{2}.

Ein Beispiel ist 5x^{2} − 2x ∗ y + 4x^{2}.

Bemerkung 23. ”Messung”: Im letzten Beispiel der Tabelle (𝔽_{5}) sind genau 40 der 125 Belegungen für α_{1} ∗ x_{1}^{2} + α_{2} ∗ x_{1} ∗ x_{2} + α_{3} ∗ x_{2}^{2} isotrop, 85 anisotrop, für 𝔽_{3}, 𝔽_{7}, 𝔽_{11} sowohl für Vektorbestandteile als auch Skalare liegen die Werte bei 6 vs. 21, 126 vs. 217, 550 vs. 781.

Theorem 24 (Prop 3). Sei (V, Q) ein nicht ausgearteter quadratischer Modul, x ∈ V isotrop mit x ≠ 0. Dann existiert U ⊂ V Unterraum mit x ∈ U und U ist hyperbolische Ebene.

Beweis. (V, Q) nicht ausgeartet. ⇒ ∃z̃ ∈ V mit x · z̃ = α ≠ 0. Konstruiere daraus z ∈ V mit x · z = 1 (z := \frac{z̃}{α}; x · z = x · \frac{z̃}{α} = \frac{x·z̃}{α} = \frac{α}{α} ). Dann ist auch y = 2z − (z · z)x isotrop:

y · y = (2z − (z · z)x) · (2z − (z · z)x)

= 4(z · z) − 4(z · z) ∗ (z · x) + (z · z)^{2}(x · x)

= 4(z · z) − 4(z · z) + (z · z)^{2}(x · x) =^{x isotr.} 0.

Tabelle 1: Isotropie - Unabhängigkeit der Ausgabebeobachtung über einen Eingabebereich Objektklasse Versuchsparameter Isotropie- kriterium Bsp (isotrop)

Gegenbsp (anisotrop)

Kristalle, Minerale Betrach- tungsrich- tung 3-dim. (x, y, z)

Lichtaus- breitung, Farbe kon- stant ?

NaCl, Glas CaCO_{3} (Doppelspat), SiO_{2}

A (Körper des VR) = ℝ, V = ℝ×ℝ

{x := (x_{1}, x_{2}) \atop aus V} x ≠ 0 s.d. ; Q(x) ≡ ; 0∀α ∈ A? {x_{1}∗x_{2}, x_{1}^{2}+3∗ \atop x_{1} ∗ x_{2} + x_{2}^{2}} {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}, x_{1}^{2} + \atop 1∗x_{1} ∗x_{2} +x_{2}^{2}}

A (Körper des VR) = 𝔽_{5}, V = 𝔽_{5} × 𝔽_{5}

{x := (x_{1}, x_{2}) \atop aus V} ∃x ≠ 0 s.d. ; Q(x) ≡ ; 0∀α ∈ A? x_{1} ∗ x_{2}, x_{1}^{2} + ; x_{2}^{2} (Z.B. x_{1} = ; 3, x_{2} = 4) x_{1}^{2} + 2 ∗ x_{2}^{2}

Ferner ist das Produkt der beiden isotropen Basisvektoren x · y ≠ 0:

x · y = x · (2z − (z · z)x) =^{x isotr.} 2(x · z) − 0 = 2.

⇒ Der Unterraum U = kx + ky hat die gewünschten Eigenschaften.

Satz 25 (Prop 3+). (V, Q) n.a. q.M., U ⊂ V, 0 ≠ x ∈ rad(U) (d.h. U ausgeartet)

⇒ zerlegt man U in U = U′ ⊕ Kx, so ∃y ∈ U^{′⊥} \ U^{⊥} mit y · y = 0, x · y = 1 (damit gilt: U′ = kx ⊕ ky ist hyperbolische Ebene).

Beweis. Sei U = U′ ⊕ kx, 0 ≠ x ∈ rad(U)

⇒ da V n.a. gilt dim(U) + dim(U^{⊥}) =^{1.2P rop2.2(d)} dim(V),

weiter gilt dim(U′) = dim(U) − 1, also wegen dim(U′) + dim(U^{′⊥}) = dim(V):

dim(U^{′⊥}) = dim(U^{⊥}) + 1, zusammen mit U′ ⊊ U ⇒ U^{′⊥} \ U^{⊥} ≠ ∅ (U^{⊥} ⊊ U^{′⊥}).

Sei z ∈ U^{′⊥} \ U^{⊥} ⇒ z · x ≠ 0, o.E. z · x = 1. z_{1} = 2z − (z · z)x.

Wie in (24) [Prop 3]: z_{1} · z_{1} = 0 und x · z_{1} = 2. y = \frac{1}{2}z_{1} = z − \frac{1}{2}(z · z)x. Es gilt: y · y = 0, x · y = 1, y ∈ U^{′⊥} \ U^{⊥} (da x ∈ U und x · y = 1 ⇒ y ∉ U^{⊥}. Aber x ∈ U^{′⊥} und z ∈ U^{′⊥} ⇒ y ∈ U^{′⊥} da U^{′⊥} ⊂ V Unterraum). Damit erfüllt y die Bedingungen.

Korollar 26. Sei (V, Q) nicht ausgeartet und enthalte ein isotropes Element ≠ 0 ⇒ Q(V) = k, d.h ∀a ∈ k ∃v ∈ V mit Q(v) = a.

Beweis. Nach (24) [Prop 3] reicht es, den Fall zu betrachten, in dem V eine hyperbolische Ebene ist, mit Basis x und y, wobei x · y = 1 und x, y isotrop. Sei a ∈ k, dann ist a = Q(x + \frac{a}{2}y) (char(k) ≠ 2!). (Komponenten von x + \frac{a}{2}y bzgl x, y: 1 und \frac{a}{2}, in Q(x) = ∑_{i,j} a_{i,j}(x_{i} · x_{j}) gibt 0∗1+1∗ \frac{a}{2} +1∗ \frac{a}{2} +0∗1 = a).

1.4 Orthogonale Basis

Definition 27 (Def 5). Eine Basis (e_{1}, …, e_{n}) eines quadratischen Moduls (V, Q) heißt orthogonal, wenn ihre Elemente paarweise orthogonal sind, d.h. V = ke_{1} ˆ⊕ … ˆ⊕ke_{n}. Das bedeutet, dass die Matrix von Q Diagonalform hat:

(\begin{matrix}a_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & a_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & a_{n} \end{matrix}) .

Ist x = ∑ x_{i}e_{i}, so ergibt sich Q(x) = a_{1}x_{1}^{2} + … + a_{n}x_{n}^{2}.

Theorem 28 (Orthogonaler Basisergänzungssatz, Thm 1). Jeder quadratische Modul hat eine orthogonale Basis.

Beweis. Wir unterscheiden nach Isotropie von V.

1. Fall: V isotrop: V isotrop ⇒ Q(x) = x · x = 0 ∀x ⇒ Q(x + y) = 0 ∀x, y ⇒ x · y = 0 ∀x, y ⇒ alle Basen von V sind orthogonal.

2. Fall: V nicht isotrop: Induktion über n = dim(V).

Basis: n = 0 ist trivial (0-Basis ist 0).

Schritt:

Annahme: Alle (U, Q) mit dim(U) ≤ n−1 haben orthogonale Basis. Schluss: Wähle e_{1} ∈ V mit e_{1}·e_{2} ≠ 0. H = (ke_{1})^{⊥} ist eine hyperbolische Ebene (3) [1.2 Prop 2,iv] und da e_{1} ∉ H ⇒ ke_{1} ˆ⊕H. Nach Induktionsannahme hat H eine orthogonale Basis (e_{2}, …, e_{n}), damit ist (e_{1}, …, e_{n}) orthogonale Basis von V.

Definition 29 (Verwandtschaft, Def 6). Zwei orthogonale Basen e = (e_{1}, …, e_{n}) und e′ = (e′_{1}, …, e′_{n}) von V heißen verwandt (angrenzend, berührend, contiguous), wenn ∃i, j ∈ 1, …, n mit e_{i} = e′_{j}.

Theorem 30 (Entfernte Verwandtschaft, Thm2). Sei (V, Q) ein quadratischer Modul mit dim(V) ≥ 3 und seien e = (e_{1}, …, e_{n}) und e′ = (e′_{1}, …, e′_{n}) zwei orthogonale Basen von V.

⇒ ∃ eine endliche Folge e^{(0)}, e^{(1)}, …, e^{(m)} von orthogonalen Basen von V mit e^{(0)} = e, e^{(m)} = e′ und e^{(i)} grenzt an e^{(i+1)} ∀0 ≤ i < m. Es bezeichne (e^{(0)}, …, e^{(m)}) eine solche Kette orthogonaler Basen, die e und e′ angrenzend verbinden.

Beweis. Wir unterscheiden, ob (V, Q) ausgeartet ist:

(V, Q) ausgeartet: (V, Q) ausgeartet ⇔ ∃0 ≠ b ∈ V^{⊥} ⇒ ∃e_{i} und e′_{j} so dass e^{(1)} = (e_{1}, …, b_{i}, …, e_{n}) und e^{(2)} = (e_{1}, …, b_{j}, …, e_{n}) Basis. Da b ∈

V^{⊥} ⇒ sogar orthonormale Basis ⇒ e → e^{(1)} → e^{(2)} → e′.

(V, Q) nicht ausgeartet: → (e_{1} · e_{1}) ≠ 0 ≠ (e_{2} · e_{2}) usw. (Matrix

A = (\begin{matrix}e_{1}e_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & e_{2}e_{2} & … & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & e_{n}e_{n} \end{matrix}) , det(A) ≠ 0).

1. Fall: A ist die darstellende Matrix von Q bzgl. (e_{1}, e_{2}). Sei die Ebene P = ke_{1}+ke′_{1} nicht ausgeartet. Dann sind e_{1} und e′_{1} linear unabhängig und:

det(A) = (e_{1} · e_{1})(e′_{1} · e′_{1}) − (e_{1} · e′_{1})^{2} ≠ 0.

Es existieren (nach (28) [1.4 Thm 1]) ε_{2} und ε′_{2} so, dass

P = ke_{1} ˆ⊕kε_{2} und P = ke′_{1} ˆ⊕kε′_{2}.

Sei H = P^{⊥}. Da P nicht ausgeartet ist, folgt nach (18) [Prop 2], dass V = H ˆ⊕P. Sei (e′′_{3}, …, e′′_{n}) eine orthogonale Basis von H. Somit erhält man eine verbindende Kette:

e → (e_{1}, ε_{2}, e′′_{3}, …, e′′_{n}) →^{n≥3} (e′_{1}, ε′_{2}, e′′_{3}, …, e′′_{n}) → e′.

2. Fall:

(e_{1} · e_{1})(e′_{2} · e′_{2}) − (e_{1} · e′_{2})^{2} ≠ 0

Analog zum 1. Fall durch Vertauschen von e′_{1} mit e′_{2}.

3. Fall:

(e_{1} · e_{1})(e′_{i} · e′_{i}) − (e_{1} · e′_{i})^{2} = 0 i = 1, 2

Die Ebene P ist also ausgeartet. Wir unterbrechen den Beweis für ein Lemma:

Lemma 31. Es existiert x ∈ k mit e_{x} = e′_{1} +xe′_{2} nicht isotrop und E = ke_{1} +ke_{x} nicht-ausgeartete Ebene.

Beweis. Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein:

(a) e_{x} nicht isotrop,

(b) e_{x} · e_{1} bilden n.a. Ebene.

Nicht isotrop (a) impliziert:

e_{x} · e_{x} = e′_{1} · e′_{1} + x^{2}(e′_{1} · e′_{2}) ≠^{!} 0  (1)

Damit (b) e_{x}, e_{1} eine nicht-ausgeartete Ebene bildet, muss weiterhin gelten:

(e_{1} · e_{1})(e_{x} · e_{x}) − (e_{1} · e_{x})^{2} ≠^{!} 0  (2)

(1) in (2) ergibt:

(e_{1} · e_{1})(e′_{1} · e′_{1}) + (e_{1} · e_{1})(e′_{2} · e′_{2})x^{2} − (e_{1} · e_{x})^{2} = (e_{1} · e_{1})(e′_{1} · e′_{1}) + (e_{1} · e_{1})(e′_{2} · e′_{2})x^{2} − (e_{1} · (e′_{1} + xe′_{2}))^{2} = (e_{1} · e_{1})(e′_{1} · e′_{1}) + (e_{1} · e_{1})(e′_{2} · e′_{2})x^{2} − ((e_{1} · e′_{1}) + x(e_{1} · e′_{2}))^{2} = (e_{1} · e_{1})(e′_{1} · e′_{1}) + (e_{1} · e_{1})(e′_{2} · e′_{2})x^{2} − ((e_{1} · e′_{1})^{2} + 2x(e_{1} · e′_{1})(e_{1} · e′_{2}) + x^{2}(e_{1} · e′_{2})^{2})

=^{Orthog.} (e_{1} · e_{1})(e′_{1} · e′_{1}) + (e_{1} · e_{1})(e′_{2} · e′_{2})x^{2} − (e_{1} · e_{1})(e′_{1} · e′_{1}) − 2x(e_{1} · e′_{1})(e_{1} · e′_{2}) − x^{2}(e_{1} · e_{1})(e′_{2} · e′_{2})

= −2x(e_{1} · e_{1})(e_{1} · e′_{2}) ≠^{!} 0.  (3)

Da (e_{1} · e_{1})(e′_{i} · e′_{i}) − (e_{1} · e_{i})^{2} = 0 und soeben gezeigt, dass e_{1} · e_{1} ≠ 0, sowie e′_{i}·e′_{i} ≠ 0, folgt also (e_{1}·e′_{i})^{2} = c ≠ 0, somit insbesondere: (e_{1}·e′_{1}) ≠ 0 ≠ (e_{1}·e′_{2}).

(1) und (3) ergeben die Bedingungen x ≠ 0 und x^{2} ≠ −(e′_{1} · e′_{1})/(e′_{2} · e′_{2}), damit e_{x} die gewünschten Eigenschaften hat. Dies sind maximal 3 Werte für x. Ist nun char(k) ≥ 4, so finden wir ein x ∈ k damit die Behauptungen für e_{x} erfüllt sind, also ist das Lemma bewiesen.

Fall k = 𝔽_{3} (𝔽_{2} nicht, wegen char(k) ≠ 2): Hier sind 1^{2} = 1 und 2^{2} = 1, also kann die Bedingung von Fall 3 geschrieben werden als (e_{1} · e_{1})(e′_{i} · e′_{i}) = 1(= (e_{1}·e′_{i})^{2}) i = 1, 2. Daher also (e′_{1}·e′_{1})/(e′_{2}·e′_{2}) = 1 und damit genügt z.B. x = 1, d.h. e_{x=1} = e′_{1} +e′_{2} erfüllt die Bedingung: x^{2} ≠ −(e′_{1} ·e′_{1})/(e′_{2} ·e′_{2}) = −1 = 2.

Zurück zum Beweis von Fall 3 in (30) [Thm 2]:

Beweis. Wähle e_{x} = e′_{1}+xe′_{2} wie im Lemma. e_{x} ist nicht isotrop, also existiert e′′_{2}, so dass (e_{x}·e′′_{2}) eine Orthogonalbasis von ke′_{1}+ke′_{2} ist. Mit dem Basisergänzungssatz (28) [1.4 Thm 1] folgt: e′′ = (e_{x}, e′′_{2}, e′_{3}, …, e′_{n}) Orthogonalbasis von V.

ke_{1} + ke_{x} ist eine nicht ausgeartete Ebene (Lemma!), deshalb folgt mit Fall 1, dass man e und e′′ in einer Kette angrenzend verbinden kann. Da e′ und e′′ angrenzend sind ⇒ Behauptung.

1.5 Satz von Witt

Bemerkung 32 (Motivation). Seien (V, Q) und (V′, Q′) zwei nicht-ausgeartete quadratische Moduln, U ⊂ V Unterraum und sei s : U ⇒ V′ ein injektiver Morphismus von U nach V′. Wir wollen versuchen, s auf einen größeren Raum als U — womöglich ganz V — zu erweitern.

Lemma 33. Wenn U ausgeartet ist, können wir s zu einem injektiven Morphismus s_{1} : U_{1} → V′ erweitern, wobei U_{1} den Unterraum U Hyperebene enthält, also s_{1}|U = s, wobei dim(U_{1}) = 1 + dim(U).

Beweis. Da U ausgeartet ∃x ∈ rad(U), x ≠ 0 (⇒ x insbes. isotrop). Sei U = U′ ⊕ kx. Nach (25) [Prop 3+]: ∃y ∈ V, so dass y · y = 0, x · y = 1, y ∈ U^{′⊥} \ U^{⊥}. Da s ein metr. Morphismus ist, gilt ∀u ∈ U : s(x) · s(u) = x · u = 0, d.h. s(x) ∈ rad(s(U)). Sei s(U) = ks(x) ⊕ s(U′). Nach (25) [Prop 3+] ∃y′ ∈ V′ mit y′ · y′ = 0, s(x) · y′ = 1, y′ ∈ s(U′)^{⊥} \ s(U)^{⊥}.

Definiere s_{1}:

s_{1} :U ⊕ ky → V
u + αy ↦ s(u) + αy′

s_{1} erfüllt das Lemma, denn: s_{1} injektiv klar (s injektiv, y′ ∉ s(U)), s_{1}

s_{1} linear klar (s ist linear),

s_{1} Morphismus (Erhaltung des Skalarprodukts): Sei (u + αy) ∈ U ⊕ ky:

s_{1}(u + αy) · s_{1}(u + αy) =^{Defs_{1}} (s(u) + αy′) · (s(u) + αy′) = s(u) · s(u) + 2α(s(u) ·

y′) + α^{2}(y′ · y′) =^{y′isotr.} u · u + 2α(s(u) · y′) =^{u=ũ+βx} u · u + 2α(s(ũ + βx) · y′) =

u · u + 2α(s(ũ) · y′) + 2αβ(s(x) · y′) =^{y′∈s(U′)^{⊥} und s(x)·y′=1} u · u + 2αβ.

(u+αy)·(u+αy) = u·u+2α(u·y)+α^{2}(y·y) =^{wie oben} u·u+2α((ũ+βx)·y) =

u · u + 2α(ũ · y) + 2αβ(x · y) = u · u + 2αβ

Theorem 34 (Wittsche Erweiterbarkeit, Thm 3). Seien (V, Q) und (V′, Q′) zwei nicht ausgeartete quadratische Moduln, U ⊂ V Unterraum und sei s: U → V′ ein injektiver metrischer Morphismus von U nach V′. s kann zu einem Isomorphismus erweitert werden von V → V′.

Beweis. Da V ≅ V′ (vereinfacht: V = V′, gilt mit folgendem Lemma): U ist nicht ausgeartet. Beweis durch Induktion über dim(U):

Basis: dim(U) = 1 ⇒ U =< x >, x · x ≠ 0 (da n.a.). Sei y = s(x) ⇒ y · y = x·x. Entweder x+y nicht isotrop (ε = 1) oder x−y nicht isotrop (ε = −1), denn sonst:

(x + y) · (x + y) = x · x + 2x · y + y · y = 2x · x + 2x · y (x − y) · (x − y) = x · x − 2x · y + y · y = 2x · x − 2x · y Addition der beiden Zeilen gibt: 4x · x = 0, also x · x = 0 ⇎

Wähle ε dementsprechend aus {−1, +1}. z := x + εy; H = (kz)^{⊥} ⇒ V = Uz ˆ⊕H, σ: V → V′, kz ⊕ H → kz ˆ⊕H.

σ : V → V, kz ⊕ H− > kz⊕, αz + h ↦ −αz + h

x = εy ∈ H : (α(x + εy) · (x − εy) = α[(x · x) − ε(y · x) − (y · y)] = 0 ⇒ σ(x − εy) = x − εy, σ(x + εy) = −x − εy).

Somit σ(x) = −εy, da

σ(x − x + εy) = σ(x) − σ(x − εy) = σ(x) − y + εy
= σ(−x) ≠ σ(x + εy) = −σ(x) − x − εy
⇒ 2σ(x) = −2εy.

Wähle −εσ als Erweiterung (Linearität und Injektivität sind klar, −εσ | u = s klar, da −εσ(x) = y = s(x). Morphismus (Erhaltung des Skalarprodukts) klar mit Q′(−εσ(xz + h)) = (−εσ(αz + h)) · (−εσ(αz + h)) = (εαz −

εh)·(εαz −εh) = ε^{2}^{=1}(αz −h)·(αz −h) = (αz +h)·(αz +h), da kz ⊥ H.

Schritt: dim(U) > 1 U = U_{1} ˆ⊕U_{2} mit U_{1} ≠ 0 ≠ U_{2}.

Induktionsannahme: σ_{1} Erweiterung auf V von s_{1} = s|U_{1}.
Schluss: Betrachte jetzt s̃ = σ_{1}^{−1} ∘ s:
⇒ s̃ | U_{1} = id | U_{1} klar
⇒ s̃ | U_{2} : U_{2} → V_{1} = U_{1}^{⊥}
denn s̃(u_{2} · u_{1}) = s̃(u_{2}) · s̃(u_{1}) = u_{2} · u_{1} = 0
⇒ σ_{2} sei Erweiterung von s̃ | U_{2} auf V_{1}
(U_{2} ⊂ V_{1} wg. U = U_{1} ˆ⊕U_{2}).

Nehme nun als Erweiterung von s̃ | U

σ: U_{1} ˆ⊕V_{1} = V → V = U_{1} ˆ⊕V_{1}

u + v ↦ u + σ_{2}(v)

klar: σ linear und injektiv, σ Morphismus

Q′(σ(u + v)) = σ(u + v) · σ(u + v) = (u + σ_{2}(v)) · (u + σ_{2}(v)) = u·u+2u·σ_{2}(v)+σ_{2}^{2}(v) = u·u+0+v·v = (u+v)·(u+v) = Q(u+v) σ_{1} ∘ σ erweitert also s von U auf V, σ_{1} metr. Isomorphismus auf V und σ_{1} · σ | u = s.

Korollar 35. U ≅ W Unterräume von (V, Q) nicht ausgeartete quadratische Moduln: ⇒ U^{⊥} ≅ W^{⊥}.

Beweis. Die Einschränkung σ | U = s: U → W ist injektiver metrischer Unterraumisomorphismus, nach (34) [1.4 Thm 3] ist die Erweiterung auf ganz V: σ: V → V metrischer Isomorphismus, also auch die Einschränkung σ | U^{⊥}: U^{⊥} → W^{⊥} metrischer Isomorphismus.

Bemerkung 36 (Wittscher Kürzungssatz). V ˆ⊕W ≅ V′ ˆ⊕W′, V ≅ V′ ⇒ W ≅ W′ wird als Wittscher Kürzungssatz bezeichnet.

1.6 Übertragungen

Nachdem wir seit Abschnitt 1.2 alles aus der Modul-/ VR-Sicht betrachtet haben, wollen wir uns nun einige Ergebnisse in die (historisch ursprünglicheren) Form-/ Polynomsicht übertragen. Wir führen einen Äquivalenzbegriff quadratischer Formen ein, den wir dann zur Klassifikation verwenden können. Aus diesem und den Ergebnissen der vorausgehenden Abschnitte können wir dann insbesondere einen Serviervorschlag für die mundgerechtere Zerlegung quadratischer Formen gewinnen.

Erinnerung 37 (Homogene Polynome haben symmetr. darst. Matrix). Matrix → Form: Eine symmetrische n ∗ n Matrix A = (a_{ij}) bestimmt eine Form f in n Variablen durch

f(X_{1}, …, X_{n}) = ∑_{i=1}^{n} a_{ii}X_{i}^{2} + 2 ∑_{i,j=1}^{n} a_{i<j}X_{i}X_{j}.

Form → Matrix: Eine quadratische Form in n Variablen über k bestimmt eine symmetrische Matrix, denn die bei naiver Verwendung einer vollständig ausmultiplizierten und termweise zusammengefaßten Form auftretende ”untere Dreiecksmatrix” können wir durch Gleichsetzen von a_{ij} = a_{ji} auch so balancieren, dass die Matrix A = (a_{ij}) symmetrisch ist.

Beispiel 38 (Def 4’). Wir kennen bereits einen Vertreter einer hyperbolischen Form in zwei Variablen, und zwar:

f(X_{1}, X_{2}) = 2 ∗ X_{1}X_{2},

denn dies ist die Form zu der Matrix A = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) aus (20) [1.3 Def 4].

Erinnerung 39 (Modul). Das Paar (k^{n}, f) ist ein quadratischer Modul, der zu f (oder ihrer Matrix A) assoziiert ist, siehe auch (5).

Definition 40 (Def 7). Zwei quadratische Formen f und f′ sind äquivalent, genau dann wenn die assoziierten Moduln isomorph sind: f ∼ f′ ⇔ (k^{n}, f) ≅ (k^{′n}, f′). Bemerkung: In der Praxis ist k = k′. Kongruenzen verschiedener k, etwa (ℝ^{2}, 0) = (𝔽_{5}^{2}, 0) sind uninteressant. Durch Betrachtung der Transformationsmatrizen X vergewissert man sich, dass die derart definierte Äquivalenzrelation reflexiv (Identität), transitiv (Matrizenmultiplikation) und symmetrisch ist (Inverse).

Bemerkung 41. Ist A Matrix von f, A′ Matrix von f′, so f ∼ f′ ⇔ A′ = X ∗ A ∗ X^{t} mit nicht-ausgearteter Matrix X, siehe auch (10) [1.1].

Beispiel 42. Ein Modul (k^{2}, f) ist eine hyperbolische Ebene, genau dann wenn:

f ∼^{(38)} 2 ∗ X_{1}X_{2} ∼^{(a)} X_{1}X_{2} ∼^{(b)} X_{1}^{2} + X_{2}^{2}

(a) :

(\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 0 \end{matrix}) ∗ (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ∗ (\begin{matrix}0 & 1 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 \end{matrix}) .

(b) :

(\begin{matrix}\frac{1}{2} & 1 \\ \frac{1}{2} & −1 \end{matrix}) ∗ (\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) ∗ (1 −1^{\frac{1}{2} \frac{1}{2}}) = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) .

Definition 43 (Def 7 ctd). Seien f_{1}(X_{1}, …, X_{n}) und f_{2}(X_{1}, …, X_{m}) zwei quadratische Formen, so werden wir mit f_{1} +^{∘} f_{2} oder — falls keine Verwechslungsgefahr besteht — auch f_{1} + f_{2} die quadratische Form

f_{1}(X_{1}, …, X_{n}) +^{∘} f_{2}(X_{n+1}, …, X_{n+m})

in n + m Variablen bezeichnen. Das ist also genau die orthogonale Summe aus (15) [1.2 Def 2], die Operation +^{∘} ist kommutativ. Für f +^{∘} (−g) verwenden wir analog −^{∘}. Beachte: um Variableneinfang zu vermeiden, kann es in der zweiten Form notwendig sein, Variablen zuvor geeignet umzubennen, Bsp. f(X) = X^{2},

g(X) = X^{2}, dann f +^{∘} g(X, Y) = X^{2} + Y^{2}.

Definition 44. Eine Form f(X_{1}, …, X_{n}) stellt ein Element a von k dar, f repr a, genau dann wenn es ein x ∈ k^{n} gibt, x ≠ 0, so dass f(x) = a (”verallgemeinertes Wurzelziehen”). (Bsp. (Q, V) = (𝔽_{5}, X^{2}): 1 wird dargestellt, 2 nicht.) Durch die Einschrankung x ≠ 0 wird die 0 nur genau dann dargestellt, wenn der zugehörige quadratische Modul auch ein isotropes Element enthält.

Theorem 45 (Übertragung: Darstellung der 0 ⇒ Abspaltung einer hyperbolischen Ebene, Prop 3’). f n.a. repr 0 ⇒ f ∼ f_{2} +^{∘} g mit f_{2} hyperbolische Ebene.

Beweis. f n.a. ⇒ (k^{n}, f) n.a. f repr 0 ⇒ ∃x ∈ k^{n} : f(x) = 0 (isotr. Element)

⇒^{(24) [1.3 Prop 3]} (k^{2}, f^{2}) ⊂ (k^{n}, f) (Unterraum, hyperbolische Ebene) ⇒^{(25) [1.3 Prop 3+]} (k^{n}, f) ≅ (k^{2}, f_{2}) ⊕ (k^{n−2}, g). Wähle Basen von (k^{n−2}) und (k^{n}) und wende f an. ⇒ f ∼ f_{2} + g.

Theorem 46 (Übertragung: Darstellung der 0 ⇒ Bijektion, Prop 3’ ctd).

f n.a. repr 0 ⇒ ∀x ∈ k : f repr x

.

Beweis. f n.a. repr 0 ⇒^{(38) [1.6 Def 4’]} (k^{n}, f) n.a. ∧ ∃v ≠ 0 : f(v) = 0 (in (k^{n}, f) existiert isotroper Vektor!)

⇒^{(26) [1.3 Cor zu Prop 3]} ∀x ∈ k ∃v ∈ k^{n} : f(v) = x ⇒^{(38) [1.6 Def 4’]} ∀x ∈ k : f repr x.

Theorem 47 (Zerlegung quadratischer Formen in Summen von Quadraten, Thm 1’). Sei f eine quadratische Form in n Variablen. Dann existieren a_{1}, …, a_{n} ∈ k, so dass f ∼ a_{1}X^{2} + … + a_{n}X_{n}^{2}.

Beweis. Der zu f assoziierte Modul (k^{n}, f) hat nach (28) [1.4 Thm 1] eine orthogonale Basis. (k^{n}, f) ≅ (ke_{1} ˆ⊕ … ˆ⊕ke_{n}, f), v = a_{1}e_{n}, …, a_{n}e_{n}. f(v) = v · v =

∑ a_{ij}(e_{i} · e_{j}) =^{Orthogonalbasis} ∑_{i=1}^{n} a_{ii}^{2} ∗ (e_{i} · e_{i}) ⇒ f(X) = ∑_{i=1}^{n}(e_{i} · e_{i})X_{i}^{2}.

Die Existenz einer orthogonalen Basis zeigt auch, dass die hiermit berechnete Diskriminante disc(f) = a_{11} ∗ … ∗ a_{nn} ≠ 0.

Definition 48. Der Rang von f ist die Anzahl der Indizes i, so dass a_{i} ≠ 0.

Korollar 49 (Abspaltung und Neutralisation eines Quadrates, Cor 1). Sei g = g(X_{1}, …, X_{n−1}) eine nicht ausgeartete quadratische Form und sei a ∈ k^{∗}. Dann sind äquivalent:

1. g repr a (g Form in n − 1 Variablen).

2. g ∼ h +^{∘} aZ^{2} (h Form in n − 2 Variablen, aZ^{2} Form einer Variable).

3. f = g −^{∘} aZ^{2} repr 0 (f Form in n Variablen).

Beweis. Sei (k^{n−1}, g) der zu g assoziierte Modul.

(2) ⇒ (1): g(X_{1}, …, X_{n−1}) ∼ h(X_{1}, …, X_{n−2}) +^{∘} aZ^{2}. Erinnerung: f ∼ g:

f und g stellen dieselben Werte aus dem Grundkörper dar. h(0, …, 0) + aZ^{2}(1) = a.

(1) ⇒ (2): g repr a ⇒^{(38 [1.6 Def 4’])} ∃v ∈ (k^{n−1}, g) : g(v) = a. Sei H =

(kv)^{⊥}. ⇒^{(28) [1.4 Thm 1]} H = kv_{1} ˆ⊕ … ˆ⊕kv_{n−2}, y ∈ H = ∑_{i=1}^{n−2} α_{i}v_{i}, g(y) =

∑_{i=1}^{n−2} α_{i}^{2}g(v_{i}), h = ∑_{i=1}^{n−2} g(v_{i})X_{i}^{2}.H ˆ⊕kv = (k^{n−1}, h) ˆ⊕(k, aZ^{2}) ⇒^{(43) [1.6 Def 7]}

g ∼ h +^{∘} aZ^{2}.

(1) ⇒ (3): g repr a ⇒ ∃v ∈ k^{n−1} : g(v) = a.f(v, 1) = g(v) − a = 0.

(3) ⇒ (1): f ∼ g −^{∘} aZ^{2} repr 0 ⇒ ∃v ∈ k^{n}, z ∈ k, (v, z) ≠ 0, g repr aZ^{2}(z),

betrachte z, entweder z = 0 oder z ≠ 0:

Fall z = 0: v ≠ 0 und g(v) = 0, ⇒^{(45) [Prop 3’] isotr. Vektor} g repr a.

Fall z ≠ 0: f(v, z) = 0 = g(v) − az^{2} ⇒ az^{2} = g(v) ⇒ a = \frac{1}{z^{2}} g(v)

=^{(g bilinear)} g(\frac{1}{z}v)

=^{(k Körper)} g(x_{1}/z, …, x_{n−1}/z) ⇒^{(38 [1.6 Def 4’])} g repr a.

Korollar 50 (Cor 2, Lösbarkeit, Vorbereitung für Cor zu 2.2 Thm 6). Seien g und h zwei nicht ausgeartete Formen von Rang ≥ 1 und sei f = g −^{∘} h. Dann sind äquivalent:

1. f repr 0.

2. ∃a ∈ k^{∗} : g repr a, h repr a.

3. ∃a ∈ k^{∗} : g −^{∘} aZ^{2} repr 0, h −^{∘} aZ^{2} repr 0.

Beweis. (2) ⇔ (3) folgt aus der Anwendung (49) [1.6 Cor 1] (1) ⇔ (3), je einmal auf g, h.

(2) ⇒ (1) ∃a ∈ k^{∗}, ∃v_{1} ∈ k^{m}, v_{2} ∈ k^{n−m} : a = g(v_{1}) = h(v_{2}) ⇒ f(v_{1}, v_{2}) = g(v_{1}) − h(v_{2} = a − a = 0, (v_{1}, v_{2} ≠ 0, da v_{1} ≠ 0 und v_{2} ≠ 0).

(1) ⇒ (2) f(X_{1}, …, X_{n}), g(X_{1}, …, X_{m}), h(X_{m+1}, …, X_{n}) ⇒ ∃x ∈ k^{m}, y ∈ k^{n−m} : (x, y) ≠ 0 ⇒ 0 = f(x, y) = g(x) − h(y) =: a.

Fall a = g(v_{1}) = h(v_{2}) ≠ 0: Wir nehmen dieses a als Zeugen für die Behauptung.

Fall b := g(v_{1}) = h(v_{2}) = 0: (Bem.: In diesem Fall sind v_{1} und v_{2} also isotrope Vektoren). O.E. x ≠ 0 ⇒ g repr 0 ⇒^{[1.6 Prop 3’]} ∀y ∈ k^{∗} : g repr y.

Da h n.a. ∃y ∈ k^{n−m}, a ∈ k^{∗} : h(y) = a ⇒^{a∈k^{∗}} h repr a, g repr a.

Theorem 51 (Kürzungssatz von Witt, Thm 4). Seien f = g+^{∘}h und f′ = g′ +^{∘}h′ zwei n.a. quadratische Formen: f ∼ f′ ∧ g ∼ g′ ⇒ h ∼ h′.

Beweis. (k^{n}, f) ≅^{(16) [1.2 Def 2]} (k^{m}, g) ˆ⊕(k^{n−m}, h), (k^{n}, f′) ≅ (k^{m}, g′) ˆ⊕(k^{n−m}, h′)

und (k^{m}, g′) ≅ (k^{m}, g) ⇒^{(36) [1.5 Thm 3, Witt]} (k^{n−m}, h) ≅ (k^{n−m}, h′).

Korollar 52 (Spalten, solange h repr 0). Wenn f nicht ausgeartet ist, so ist

f ∼ g_{1} +^{∘} … +^{∘} g_{m} +^{∘} h,

wobei g_{1}, … g_{m} hyperbolische Formen (38) [1.6 Def 4’] sind und h nicht repr 0. Diese Zerlegung ist bis auf Isomorphie eindeutig.

Beweis. Existenz: Wende (45) [1.6 Prop 3’] so lange an, wie h repr 0 (sei dabei m die Anzahl der dabei abgespaltenen hyperbolischen Formen). Die Eindeutigkeit folgt aus m-maliger Verwendung von (51) [1.6 Thm 4, Witt].

Bemerkung 53. Die Zahl 2 ∗ m wird auch als die Dimension der maximal isotropen Unterräume des zu f assoziierten q.M. bezeichnet.

1.7 Quadratische Formen über 𝔽_{q}

Erinnerung 54. p Primzahl ≠ 2 und q = p^{f} Potenz von p ⇒ 𝔽_{q} ist Körper mit q Elementen.

Theorem 55 (Prop 4). Eine quadratische Form über 𝔽_{q} von Rang ≥ 2 stellt alle Elemente von 𝔽_{q}^{∗} dar. Eine Form vom Rang ≥ 3 stellt zusätzlich die 0 dar.

Beweis. Rang 2: Zu zeigen, dass

g(x, y) = h(x) +^{∘} i(y) repr c, mit h(x) = ax^{2}, i(y) = by^{2}

eine Lösung hat, mit a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0.

Sei A = {α ∈ F_{q} | α = ax^{2}}, sei B = {α ∈ F_{q} | α = c − bx^{2}}.

ord(𝔽_{q}^{∗}) =^{<β>:=𝔽_{q}^{∗}} q − 1 ⇒^{char(𝔽_{q})≠2} 2|(q − 1) ⇒ ord(𝔽_{q}^{∗^{2}}) =^{𝔽^{∗^{2}_{q}}=<β^{2}>} \frac{q−1}{2}

|𝔽_{q}^{∗^{2}} ∪ 0| = \frac{q−1}{2} + 1 = \frac{q+1}{2}.

⇒^{Multiplikation mit a, b, Subtraktion c − bx^{2} über 𝔽_{q} bijektiv} |A| = |B| = \frac{q+1}{2}

⇒^{Schubfachprinzip} A ∩ B ≠ ∅.

Aus der Existenz der Lösung c folgt:

⇒ ∀c ∈ 𝔽_{q}^{∗} : g(x, y) repr c.

Rang 3: Sei f ∼ g −^{∘} j(z). Da g repr c (Rang 2) ⇒^{(49) [1.6 Cor 1] (1)⇒(3)} f repr 0.

Bemerkung 56. Alternativ (aufwändig, aber mit Wiedererkennungseffekt): verwende hier ein Korollar des Satzes von Chevalley-Warning [2] (bei [4] in 1.2) der Form: das Polynom f = aX^{2} + bY^{2} + cZ^{2} ∈ 𝔽_{p}[X, Y, Z] hat eine nichttriviale Nullstelle. Dies ist die Aussage für Rang ≥ 3. Mit (49) [1.6 Cor 1] (3)⇒(1) folgt auch die Aussage des Satzes für n ≥ 2.

Theorem 57 (Prop 5). Seien a, b, c ∈ 𝔽_{q}^{∗}, a ∉ 𝔽_{q}^{∗^{2}}. Sei f n.a. quadratische Form von Rang n über 𝔽_{q}. Dann gilt einer der beiden Fälle:

Fall 1: f ∼ X_{1}^{2} + … + X_{n−1}^{2} + X_{n}^{2} ⇔ disc(f) ≡ 1 mod 𝔽_{q}^{∗^{2}},

Fall 2: f ∼ X_{1}^{2} + … + X_{n−1}^{2} + aX_{n}^{2} ⇔ disc(f) ≢ 1 mod 𝔽_{q}^{∗^{2}}.

Beweis. Induktion über Rang n.

Basis n = 1: Sei f n.a. q.F. von Rang 1.

Fall 1: f ∼ bX^{2}, b ∈ 𝔽_{q}^{∗^{2}}(∃c : b = c^{2}) ⇔ f ∼ bX^{2} ∼ X^{2} ⇔ disc(f) ≡ 1

mod 𝔽_{q}^{∗^{2}}.

Tabelle 2: Anzahl von nicht ausgearteten quadratischen Formen für Rang n bis auf Ähnlichkeit: ℂ

𝔽_{q} für festes
q ≠ 2

ℝ
1  2  n

Fall 2: f ∼ bX^{2}, b ∉ 𝔽_{q}^{∗^{2}}, sei b := c^{2} ∗a ⇔ f ∼ bX^{2} ∼ aX^{2} ⇔ disc(f) ≡

a mod 𝔽_{q}^{∗^{2}} ⇔^{a∉𝔽_{q}^{∗2}} disc(f) ≢ 1 mod 𝔽_{q}^{∗^{2}}.

Schritt n − 1 → n: Sei f n.a. q.F. von Rang n ≥ 2.

Hypothese (IH): ∀g ∈ G := {g | g n.a. quadr. Form, rank(g) = n − 1} : g ∼ bX_{1} + … + X_{n−1}. disc(g) ∈ 𝔽_{q}^{∗}/𝔽_{q}^{∗^{2}}.

Schluss: rank(f) ≥ 2 ⇒^{(55) [1.7 Prop 4]} f repr 1 ⇒^{(49) [1.6 Cor 1] (1)⇒(2), a = 1} ∃g ∈

G : f ∼ g +^{∘} X_{n}^{2} ∼^{IH} bX_{1} +^{∘} X_{2} +^{∘} … +^{∘} X_{n} ⇔^{(43) [1.6 Def 7]} (k^{n}, f) ≅

(k^{n−1}, g) ˆ⊕(k, X_{n}^{2}) ⇔ disc(f) = disc(g) ∗ 1 ∈^{IH} 𝔽_{q}^{∗}/𝔽_{q}^{∗^{2}}.

Korollar 58. Zwei nicht-ausgeartete quadratische Formen über 𝔽_{q} sind genau dann äquivalent wenn sie denselben Rang und dieselbe Diskriminante haben.

Bemerkung 59. Im nicht-ausgearteten Fall ist die diskriminantenbeherbergende Quotientengruppe (11) [1.1] für endliche Körper mit char(k) ≠ 2 der Form 𝔽_{q}^{∗}/𝔽_{q}^{∗^{2}} (Erinnerung: |𝔽_{q}^{∗}/𝔽_{q}^{∗^{2}}| = 2).

Bemerkung 60. Komplexität der Klassifikation:

Literatur

[1] A. Merz, C. Semrau, Kapitel III. Das Hilbert-Symbol, Seminarvortrag LMU München, Wintersemester 2002/03, online (zugegriffen 13.01.2003) http://www.chsemrau.de/studium/mathematik/chapter3.pdf.

[2] A. Merz, C. Semrau, Der Satz von Chevalley-Warning, Seminarvortrag LMU München, Wintersemester 2002/03, online (zugegriffen 13.01.2003) http://www.chsemrau.de/studium/mathematik/chevalley.pdf.

[3] W. Scharlau, Quadratic and hermitian forms, Springer, 1985.

[4] J.-P. Serre, A course in arithmetic, Springer, 1973. (Elektronische Version dieses Dokuments via

http://www.blasum.net/holger/wri/math/al/nt/zimmermann2002/.)